Du musst
einen antrag auf familienversicherung stellen. das geht aber erst, wenn das kind geboren ist. du kannst einfach nichts versichern, was noch nicht "existiert" (klingt vllt hart, meine es aber nicht so).
bei uns war es auch so wie bei euch: wir sind nicht verheiratet, haben aber gemeinsames sorgerecht schon geregelt. mein sohn ist aber bei mir versichert, weil ich gesetzlich bin, das fand ich einfacher. aber jetzt kommt der knüller: unser sohn hat den nachnamen vom papa bekommen (also nicht meinen) und da wollte meine kasse eine geburtsbescheinigung haben. hätte er meinen nachnamen gehabt, wäre es promlemlos ohne geburtsbescheinigung gegangen.
ganz wichtig ist, dass du beim antrag bei der frage "ab wann soll die person versichert werden" den geburtstag deines kindes einträgst. manche schreiben da denn sowas wie "ab sofort" hin und das kann die kasse gar nicht gebrauchen.