553 BGB - Gestattung der Gebrauchsüberlassung an Dritte
(1) Entsteht für den Mieter nach Abschluss des Mietvertrags ein berechtigtes Interesse, einen Teil des Wohnraums einem Dritten zum Gebrauch zu überlassen, so kann er von dem Vermieter die Erlaubnis hierzu verlangen. Dies gilt nicht, wenn in der Person des Dritten ein wichtiger Grund vorliegt, der Wohnraum übermäßig belegt würde oder dem Vermieter die Überlassung aus sonstigen Gründen nicht zugemutet werden kann.
(2) Ist dem Vermieter die Überlassung nur bei einer angemessenen Erhöhung der Miete zuzumuten, so kann er die Erlaubnis davon abhängig machen, dass der Mieter sich mit einer solchen Erhöhung einverstanden erklärt.
(3) Eine zum Nachteil des Mieters abweichende Vereinbarung ist unwirksam.
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Man könnte als Vermieter allerdings den Eltern nicht untersagen, das Kind in der Wohnung zu haben. Die Familie ist durch Art. 6 Grundgesetz geschützt. Du kannst es also beruhigt dem Vermieter melden. Ob dann eine Erhöhung der Miete gerechtfertigt ist, ist eine andere Frage. Durch das Kind entstehen anfangs sicher keine großartigen Zusatzkosten. Das meiste werden Stromkosten sein.